A Characterization of Sturmian Words by Return Words

1 R esum e: Nous pr esentons une nouvelle caract erisation des mots de Sturm bas ee sur les mots de retour. Si l'on consid ere chaque occurrence d'un mot w dans un mot innni r ecurrent, on d eenit l'ensemble des mots de retour de w comme l'ensemble de tous les mots distincts commenn cant par une occurrence de w et nissant exactement avant l'occurrence suivante de w. Le r esultat principal montre qu'un mot est sturmien si et seulement si pour chaque mot w non vide apparaissant dans la suite, la cardinalit e de l'ensemble des mots de retour de w est egale a deux. Abstract: We present a new characterization of Sturmian words using return words. Considering each occurrence of a word w in a recurrent word, we deene the set of return words over w to be the set of all distinct words beginning with an occurrence of w and ending exactly before the next occurrence of w in the innnite word. It is shown that an innnite word is a Sturmian word if and only if for each non-empty word w appearing in the innnite word, the cardinality of the set of return words over w is equal to two.